Matriks Terapan untuk Sirkuit Listrik

Sebuah tutorial tentang bagaimana matematika, khususnya matriks, diterapkan untuk model rangkaian listrik.





Ada dua loop tertutup di sirkuit di atas. loop 1: e1, R1 dan R3 dan loop 2: e2, R2 dan R3. e1 dan e2 adalah sumber tegangan. R1, R2 dan R3 adalah resistor. i1 adalah arus mengalir melalui R1 dan i2 adalah arus mengalir di R2. Kami sekarang menerapkan hukum Kichhoff untuk setiap loop.loop 1: e1 = i1 R1 + R3 (i1 - i2)loop 2: e2 = R2 R3 i2 + (i2 - i1)Pertanyaan: Jika e1, e2, R1, R2 dan R3 diketahui, bagaimana Anda menghitung dan i1 i2? Sirkuit ini sederhana dan hanya melibatkan dua persamaan. Namun cicuits listrik bisa jauh lebih rumit bahwa satu di atas dan matriks yang cocok untuk menjawab pertanyaan di atas. Mari kita kelompok seperti istilah dalam sistem di atas persamaane1 = i1 (R1 + R3) - i2 R3e2 = - i1 + i2 R3 (R2 + R3)dan kemudian menulis dalam bentuk matriks sebagai berikut





Di atas adalah persamaan matriks yang dapat diselesaikan menggunakan metode yang dikenal untuk memecahkan sistem persamaan. Biarkan e, R dan saya akan matriks diberikan oleh






Solusi persamaan matriks di atas diberikan oleh


dimana R -1 adalah invers matriks R dan diberikan oleh.

Memaksimalkan Daya Disampaikan ke Sirkuit

Masalah 1: Dalam sirkuit elektronik yang ditunjukkan di bawah, E tegangan (dalam Volt) dan r perlawanan (dalam ohm) adalah konstan. R adalah hambatan beban. Dalam sirkuit, i arus listrik diberikan olehi = E / (r R)dan kekuatan P dikirimkan ke beban R diberikan olehP = R i 2r dan R menjadi positif, menentukan R sehingga daya P dikirim ke R adalah maksimum. Solusi untuk Masalah 1:Kami pertama-tama menyatakan daya P dari segi E, r dan R variabel dengan menggantikan i = E / (r R) ke P = R i 2.P (R) = R i 2 = R E 2 / (r R) 2Kami sekarang membedakan P berkaitan dengan variabel RdP / dR = E 2 [(r R) 2 - R 2 (r R)] / [(r R) 4]= E 2 [(r R) - 2 R] / [(r R) 3]= E 2 [(r - R)] / [(r R) 3]Untuk mengetahui apakah P memiliki maksimum lokal kita perlu menemukan titik-titik kritis dengan menetapkandP / dR = 0 dan memecahkan untuk R.Karena r dan R keduanya (resistensi) positif dP / dR hanya memiliki satu titik kritis pada R = r. Juga untuk R <r, dP / dR adalah positif dan P meningkat dan untuk R> r, dP / dR adalah negatif dan P menurun. Maka P mempunyai nilai maksimum pada R = r. Kekuatan maximu ditemukan dengan mengatur R r = dalam P (R)P (r) = r E 2 / (r r) 2 = E 2 / 4RJadi untuk memiliki transfer daya maksimum dari sirkuit elektronik dengan beban R, resistansi R harus sama dengan r. Sebagai contoh plot P (R) untuk E = 5 volt dan r = 100 ohm ditunjukkan di bawah ini dan hasilnya jelas menunjukkan bahwa P adalah maksimum bila R = 100 ohm = r. Mari kita periksa P (R) lagi. Jika mendekati nol R, P (R) juga mendekati nol. Jika R meningkat tanpa batas, P (R) mendekati nol sejak asymptote horisontal grafik P (R) adalah sumbu horisontal. Jadi bahwa di suatu tempat untuk nilai terbatas (ditemukan r) P (R) memiliki nilai maksimum.

Maximize Volume of a Box (Maksimalkan Volume Balok)

Problem 1: A sheet of metal 12 inches by 10 inches is to be used to make a open box. Squares of equal sides x are cut out of each corner then the sides are folded to make the box. Find the value of x that makes the volume maximum. Solution to Problem 1: We first use the formula of the volume of a rectangular box. V = L * W * H The box to be made has the following dimensions: L = 12 - x W = 10 - 2x H = x We now write the volume of the box to ba made as follows: V(x) = x (12 - 2x) (10 - 2x) = 4x (6 - x) (5 - x) = 4x (x 2 -11 x + 30) We now determine the domain of function V(x). All dimemsions of the box must be positive or zero, hence the conditions x > = 0 and 6 - x > = 0 and 5 - x > = 0 Solve the above inequalities and find the intersection, hence the domain of function V(x) 0 < = x < = 5 Let us now find the first derivative of V(x) using its last expression. dV / dx = 4 [ (x 2 -11 x + 3) + x (2x - 11) ] = 3 x 2 -22 x + 30 Let us now find all values of x that makes dV / dx = 0 by solving the quadratic equation 3 x 2 -22 x + 30 = 0 Two values make dV / dx = 0: x = 5.52 and x = 1.81, rounded to one decimal place. x = 5.52 is outside the domain and is therefore rejected. Let us now examine the values of V(x) at x = 1.81 and the endpoints of the domain. V(0) = 0 , v(5) = 0 and V(1.81) = 96.77 (rounded to two decimal places) So V(x) is maximum for x = 1.81 inches. The graph of function V(x) is shown below and we can clearly see that there is a maximum very close to 1.8.

Mateamtika Terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Fisika matematika

 Optimisasi

Biologi matematika

Teori kontrol

Teori peluang

Kimia matematika 

Mekanika fluida

Teori permainan

Matematika keuangan

Ekonomi matematika

Analisis numerik